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Circunferência trigonométrica, arco orientado,quadrantes.

Trigonometria - www.profdeivison.com.br

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

Numa circunferência, fixado um ponto A, temos dois sentidos:

ANTI-HORÁRIO

Sentido anti-horário será o sentido onde os valores dos arcos são tomados com valores positivos.

HORÁRIO

Já o sentido horário teremos que as medidas dos arcos são tomadas com valores negativas.

ARCO ORIENTADO

 

 

Definição: É todo arco contido numa circunferência orientada.

Sendo um arco de uma circunferência, temos:

 

Arco orientado

Arco Orientado.

Na circunferência acima temos que :

= .

 

 

Circunferência Trigonométrica

 

Definição: Circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada, de

raio unitário (r = 1), na qual um ponto A é origem de medida de todos os arcos

nelas contidos.

 

Vamos considerar:

 

  • Uma circunferência cujo centro coincide com a origem do plano cartesiano.

 

  • Um ponto A(1,0) como origem de todos os arcos dessa circunferência.

 

Circunferência Orientada

 

 

 

Os eixos x e y do plano cartesiano determina, na circunferência, quatro arcos

de mesma medida, ou seja, quatro quadrantes.

 

Assim teremos:

Como a circunferência tem 360º ou 2π rad, cada arco desse mede 90º

ou .

 

Na circunferência trigonométrica temos:

  • Contro na origem do plano cartesiano;
  • Ponto A(1,0) ponto de origem da contagem dos arcos;
  • O ciclo é dividido em quatro quadrantes;
  • Cada quadrante corresponde a um arco de medida 90º.
  • Uma volta completa no ciclo trigonométrico tem medida de 360º ou 2π.

Assista a vídeo aula do Canal DSMATEMÁTICA e confira mais detalhes.


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

Curiosidade sobre matemática que você precisa conhecer

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

e-mail:contato@profdeivison.com.br

Apresentaremos nesse texto algumas curiosidades matemáticas que você não pode perder e deixar de conhecer. São curiosidades fascinantes, presentes em vários níveis de Ensino da matemática, que traz em sim, algumas grandes sutilezas que faz com que a matemática seja essa matéria tão linda ser explorada. Convido você a viajar agora nesse mundo.

[1]A raiz quadrada de 2 é um número racional?

 

Bom, para começarmos a fazer essa demonstração, vamos primeiramente definir número racional.

Definição: Número racional é todo número que pode ser escrito em forma de uma razão (ou fração), onde o numerador e denominador são números inteiros, com o denominador diferente de zero.

Representaremos o conjunto dos números racionais pela letra \mathbb{Q}. Portanto, em símbolos temos o seguinte:

Q = \left \{ \frac{a}{b}| a\in \mathbb{Z};b\in \mathbb{Z^*} \right \}.

Agora conhecendo a definição de números racionais, poderemos partir para a prova que \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.Em outras palavras, que \sqrt{2}, não é um número racional.


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

 

Os Intervalos Reais E Sua Aplicação Na Lógica De Programação

Prof. Inácio Wanderley

e-mail: inaciouemanet@gmail.com

Hoje a computação tem evoluído com uma magnitude que chega a assombrar pesquisadores, por que há um grande consumo de produtos lançados que alcançam alarmantes índices para a vida das pessoas. Existe uma febre crescente de pessoas que se valem deste tipo de ferramenta para as suas transações bancárias, compras pela internet e até na hora de pedir uma pizza já existem serviços oferecidos por restaurantes e pizzarias que utilizam o nome em inglês “DELIVERY”  para chamar a atenção e tornar a vida de pessoas que vivem em grandes centros mais cômoda onde as mesmas no conforto do seu lar podem pedir de tudo o que quiserem somente tocando na tela de um Smartphone ou mesmo acessando um site em um PC – leia-se “computador pessoal”. Mas a pergunta que as pessoas às vezes fazem é: – O que está por trás dessa tecnologia que torna tudo tão rápido e preciso, fazendo milhões de informações serem processadas em poucos segundos com uma margem mínima de erro?

Utilizando esse argumento iremos fazer uma explanação a respeito de um dos assuntos pouco visto pelas pessoas como valioso, mas que no seu pano de fundo aplica-se perfeitamente ao nosso dia-a-dia no tocante à computação.

Estaremos falando sobre intervalos de números reais e sua aplicação na computação, principalmente na construção de algoritmos que utilizam a lógica como argumento principal.

INTERVALO

Conceito:

Um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0(zero) e menores ou iguais a 1               (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0(zero) e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais  e o conjunto dos números reais negativos.

Os extremos podem ser números reais como também podem ser  e . Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo. Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção

Representação:

Notações comuns para representar intervalos são:

Quando aplicamos isso vemos a importância deste assunto em soluções rápidas e eficazes. Uma das melhores aplicações que podemos ver acerca de INTERVALOS é quando usamos ESTRUTURAS LÓGICAS e ESTRUTURAS DE DECISÃO em linguagem de programação. Tomemos o seguinte exemplo utilizando o portugol:

Construa um algoritmo que peça as 4(quatro) notas bimestrais de matemática um aluno, calcule a sua média aritmética, exiba a nota e a situação dele, como reprovado, de recuperação ou aprovado. A média de aprovação é 7,0, a média de recuperação está entre 5,0 e 7,0 e a média de reprovação estará abaixo de 5,0.

Iremos utilizar o programa Visualg para construir esse algoritmo

 

 

 

 

algoritmo “Calculo da média de um aluno”

 

var

n1, n2, n3, n4, res : real

inicio

escreval(“Digite a primeira nota do aluno :”)

leia(n1)

escreval(“Digite a segunda nota do aluno :”)

leia(n2)

escreval(“Digite a terceira nota do aluno :”)

leia(n3)

escreval(“Digite a quarta nota do aluno :”)

leia(n4)

 

res <- (n1 + n2 + n3 + n4)/4

 

se (res < 5) entao

escreval(“a media do aluno foi “,res,” e o aluno esta reprovado”)

senao

se (res >= 5) e (res < 7) entao

escreval(“a media do aluno foi “,res,” e o aluno esta de recuperação”)

senao

se (res >= 7) entao

escreval(“a media do aluno foi “,res,” e o aluno esta aprovado”)

 

fimse

fimse

fimse

 

fimalgoritmo

 

 

Tela do aplicativo

 

 

Depois do algoritmo pronto iremos agora comentar passo a passo a aplicação dos intervalos, limitando o nosso raciocínio da linha 17 até a 24 de nosso algoritmo. Ilustraremos isso usando a representação gráfica de intervalos.

Quando o programa pede para se digitar 4(quatro) notas, calcular a sua média e exibir a nota e a situação do aluno, ele estará usando a estrutura de decisão para fazer um teste lógico e verificar através de intervalos a referida situação. Vejamos isso usando a representação gráfica:

 

 

 

Imagem dos Intervalos

Bom pessoal, essa era a ideia que eu queria passar pra vocês. Um forte abraço e até a próxima.

 

 


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

 

 

O que Peano pode nos ensinar sobre o Princípio da Indução Finita (Parte2).

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

e-mail:profdeivison2013@gmail.com

Estamos de volta com a série de Posters sobre o Princípio da Indução Finita e também com exemplos de aplicação desse importante princípio.

O Princípio da Indução também pode ser enunciado de uma outra maneira em se tratando dos números naturais da seguinte forma:

“Seja P uma propriedade relativa aos números naturais. Se 1 satisfaz essa propriedade P e se, o fato de um número natural n satisfazer essa propriedade concluirmos que n + 1 também satisfaz essa propriedade, então todos os números naturais satisfazem essa propriedade P”.

Vejamos agora aplicações desse Princípio na solução de algumas questões de Indução Matemática. Vejamos:


Exemplo 1 : Mostre que para todo n\in \mathbb{N} se n\geqslant 32n + 1<2^{n}.

Solução:

 1º Parte: Calculamos P(3).

P(3) = 2.3+1=7<2^3. (Verdade!)

2º Parte: Supomos verdadeira para n. Ou se,a que P(n) é verdade.

2n + 1<2^{n}.

3º Parte: Provemos que P(n+1) é verdadeira.

2.(n+1) = 2n+1+2<2^n + 2< 2^n+2^n = 2.2^n= 2^{n+1} .. Portanto é válida para todo número natural maior ou igual a 3.


Exemplo 2: Prove por indução que 1+3+5+…+(2n-1) = n^2, para todo n\in \mathbb{N}^{*}.

Solução:

1ºParte: Para n = 1  temos:

n = 1 : 1 = 1^1=1.

2º Parte: Supomos verdade para algum n\in \mathbb{N}. Isto é:

1+3+5+…+(2n-1) = n^2.

3º Parte: Mostremos que é válida para(n+1)\in \mathbb{N}.

Hipótese: 1+3+5+…+(2n-1) = n^2.

Vejamos agora para (n+1).

1+3+5+…+[2.(n+1)-1]=n^2

1+3+5+…+[2n+2-1]=(n+1)^{2}

1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)^{2}

1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1

n^2+2n+1=n^2+2n+1..

Como queríamos mostrar logo a propriedade é válida para todo número natural com exceção do zero.


Exemplo3: Use indução em N e mostre que:

2(1+2+…+n)=n(n+1).

Solução:

1º Passo: Para n = 1 temos:

2.1=1(1+1)\Rightarrow 2=2. \textrm{ ok! }

2º Passo: Suponha válido para algum n natural, isto é:

2(1+2+…+n)=n(n+1).

3º Passo:Mostremos que é válido para (n+1).

2[1+2+…+n+(n+1)]=(n+1)[(n+1)+1).

2[1+2+…+n+(n+1)]=(n+1)(n+2).Então, aqui vamos substituir expressão [1+2+…+n+(n+1)] pela soma dos termos da P.A ficando assim:

2\left [ \frac{(1+n+1)(n+1)}{2} \right ]=(n+1)(n+2)

(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2) . Como queiramos mostrar. Logo, é válido para todo número natural.

Então caros leitores do blog, como podemos ver, o Princípio da Indução Finita é muito importante na demonstração de proposições em N .


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.