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[4] Super aplicações que você precisa conhecer sobre logaritmo

Logaritmo

Aplicações do conceito de logaritmo

 

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

 

Quantas vezes você já estudou aquele conteúdo de matemática e se perguntou: “Onde vou usar isso no meu dia dia ?” Pois é, eu também quando aluno me fiz essa pergunta várias e várias vezes em diversos assuntos.

Hoje veremos algumas aplicações referentes a definição e propriedades do conteúdo de logaritmo. Venha conosco e embarque nessa viajem e descubra o lado interessante da matemática.

Os logaritmos possuem várias aplicações em diversas áreas do conhecimento como em Química, Biologia, Geografia até mesmo na própria Matemática, em fim, agora analisaremos algumas aplicações desse tema em situações diversas.

Exemplo 01: Matemática Financeira.

Marcos aplicou a importância de R$ 500,00 em um Banco, que paga juros mensais de 5,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 8.500,00?

Solução:

A utilização de logaritmo e suas técnicas em situações de juros compostos que necessitamos calcular o tempo, é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos é essa: M = C\cdot (1+i)^{t}.

De acordo com a problema temos:

M (montante) = R$8.500,00
C (capital) = R$ 500,00
i (taxa) = 5,5% = 0,055
t = ?

\\M = C\cdot (1 + i)^{t}\\   \\8500 = 500\cdot (1 + 0,055)^{t}\\   \\frac{8500}{500} = 1,055^{t}\\   \\1,055t = 17.\\

 

Aplicaremos agora o conceito de logaritmo para determinar o tempo.

\\log 1,055^{t} = log17\Rightarrow t\cdot log 1,055 = log 17\\   \\ t\cdot0,0233 = 1,2304 \Rightarrow t=\frac{1,2304}{0,0233} \Rightarrow t = 52,8.\\

O montante de R$ 8.500,00 será originado após 52,8 meses de aplicação.

 

Exemplo 02: Geografia.

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 5% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade triplicará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Solução:

População do ano-base \\= P_{0}\\

População após um ano \\ =P_{0}\cdot (1,05)=P_{1}\\

População após dois anos \\=P_{0}\cdot (1,05)^{2}=P_{2}\\

População pós x anos  \\=P_{0}\cdot (1,05)^{x}=P_{x}.\\

 

Vamos supor que a população triplicará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

 \\=P_{x}= 3\cdot P_{0}.\\   \\P_{0}\cdot (1,05)^{x} = 3 \cdot P_{0}\\   \\1,05^{x} = 3 .\\

Aplicaremos agora o conceito de logaritmo para determinar o valor da incógnita x assim:

\\log\; 1,05^{t} = log\; 3\Rightarrow x\cdot log\; 1,05 = log\; 3\\   \\ x\cdot0,0212 = 0,4771 \Rightarrow t=\frac{0,4771}{0,0212} \Rightarrow x = 22,5.\\

 

A população triplicará em aproximadamente 22,5 anos.

 

Exemplo 03: Química.

Para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa, os químicos utilizam a fórmula

 Q = Q_{0} \cdot e^{-rt} , em que Q é a massa da substância,  Q_{0} é a massa inicial, r é taxa de redução da radiatividade e t é o tempo em anos.

Podemos por exemplo calcular o tempo gasto para 300 g de determinada substância se reduzir a 200g, a uma taxa de 7% ao ano. Equações desse tipo podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos.

Solução:  \\ \\

 \\ Q = 200g \\   \\ Q_{0} = 300g\\   \\r = 0,07. \\   \\Q = Q_{0} \cdot e^{-rt} \\   \\ 200 = 300 \cdot e^{-0,07t} \\   \\ \frac {200}{300} = e^{-0,07t} \Rightarrow \frac {2}{3} = e^{-0,07t}. \\

 

Aplicaremos agora a definição de logaritmo.

 

   \\ log_{e} \; \frac{2}{3} = log_{e}\; e^{-0,07t} \\   \\ log_{e} \; \frac{2}{3} =-0,07t\\   \\ -0,07t = ln\; \frac{2}{3}\\   \\-0,07t = -0,4055\\   \\t = \frac {-0,4055}{-0,07}\\   \\ t = 5,79.\\

 

Então concluímos que a substância levará 5,79 anos para reduzir-se a 200g.

 

Exemplo 04: Medicina.

Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma super-dose de um medicamento cujo princípio ativo é de 500 mg. A quantidade q desse princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela expressão q(t) = 500\cdot (0,6)^{t}.

Determine então, o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja menor que 100 mg.

Solução:

 \\500\cdot (0,6)^{t} < 100\\   \\(0,6)^{t} < \frac {100}{500}\\   \\(0,6)^{t} < \frac {1}{5}\\

 

Aplicaremos agora a definição de logaritmo.

 

 \\ log \; 0,6^{t} < log\;\frac{1}{5}\\   \\ t \cdot log \; 0,6 < log\;\frac{1}{5}\\   \\ \frac {t \cdot log \; 0,6}{log \; 0,6} > \frac {log\;\frac{1}{5}} {log \; 0,6} \\

Observe que log \; 0,6 < 0. Esse é o motivo pelo qual a desigualdade mudo de sentido.

t > \frac {-0,6990}{-0,2218} \Rightarrow t > 3,15h.

 

Então como podemos observar, o conceito de logaritmo possui uma vasta aplicação nas mais diversas áreas do conhecimento, bastando apenas aplicá-las de forma correta.

Espero que com esses exemplos de aplicações possamos ver a beleza e a utilidade desse importante conceito da matemática e mais além, possamos aplicar essa poderosa ferramenta na solução de problemas.

 


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

Descubra como pode ser fácil entender o Princípio das casas dos Pombos

Princío das Casas de Pombos

Princípio das casas dos pombos

 

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

 

Princípio das casas dos pombos é muitas vezes utilizados por nós de maneira intuitiva, sendo pouco conhecido de maneira formal, matemáticamente falando. Prém, é uma ferramenta muito importante na hora de resolver situações de problemas. Prloblemas eses, que frequentemente tem caído nas questões de ENEM, CONCURSOS, entre outras provas.

O matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), em 1834, foi o primeiro a usas esses princípio. Por isso, é também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet. Podemos enunciar o Princípio das Casas dos Pombos em sua versão mais seimples da seguinte forma:

Se existirem pelo menos n + 1 pombos, e somente n casas, pelo menos uma casa vai ter mais do que um pombo.

Essa afirmação parece óbvia, uma que se tivermos um grupo de n + 1 pombos para serem agrupados em n casas, se todos os pombos então dentro de uma casa, é evidente que pelo menos uma casa conterá dois pombos. Na resolução das questões relativas a esse conceito, devemos  verificar na questão, quem faz o papel dos pombos e quem faz o papel das casas.

 

 

Dica

 

Dica!! Uma dica muito importante é que, na grande maioria dos problemas, você tem que imaginar que você é a pessoa mais azarada do mundo, tem que pensar na pior das hipóteses.

 

 

Aplicações do Princípio das casas dos pombos

Aplicações do princípio das casas dos pombos

 

Vajamos agora algumas situações de aplicação do Pincípio das casas dos pombos. Esses exemplos servirão para você aluno, fixa e compreender melhor essa poderos ferramenta matemática.

 

EXEMPLO 1:

Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês?

Solução:

Nessa situação, teremos meses do ano, representam as (Casas dos pombos) e as pessoas representarão(os pombos).

Daís teremos 12 casas de pombos, associando cada pessoa a seu mês de nascimento, se tivermos 12 pessoas poderá acontecer que cada uma tenha nascido em um mês diferente, o que não garante que duas delas fezem aniversário no mesmo mês. Porém, se tomarmos mais uma pessoa ou seja 13 pessoas, verificamos que temos, 13 pombos e 12 casas. Então, pelo Princípio das casas dos pombos, pelo menos 2 pombos, ficarão na mesma casa, ou seja, pelos menos duas pessoas aniversariarão no mesmo mês.

 

 

EXEMPLO 2:

Em uma gaveta, há 4 meias pretas, 2 meias brancas, 8 meias cinzas. Qual é a quantidade mínima de meias que preciso retirar desta gaveta para garantir que terei pelo menos duas meias de cores diferentes?

Solução:

Qual a pior hipótese pode acontecer? Bom, se eu estou querendo retirar duas meias de cores diferentes, a piors das hipóteses (azar), é pegar várias meias da mesma cor, certo? Supunha que o cara é muito azarado e começe a tirar so meias cinzas ( já que é aque tem em maior quantidade) consecutivamente.

Logo, depois de pegar as  8 meias cinzas, não tem como escapar. A próxima meia tem que ser de outra cor. Portanto, 9 meias é a quantidade mínima de meias para garantir que teremos pelo menos duas meias de cores diferentes. Pode até ser que das 9 meias eu tenha mais de duas meias com cores diferentes, mas isso é sorte e não certeza. Entendeu a ideia? Espero que sim !

 

 

EXEMPLO 3:

Quantas vezes devemos lançar um dado (um dado de 6 faces) para se ter certeza que um mesmo número vai cair duas vezes?

Solução:

Lembra da dica, que você tem que imaginar que você é a pessoa mais azarada do mundo, tem que pensar na pior das hipóteses? Pois és, suponha que você lançou o dado 6 vezes e cada vez caiu um número diferente, por exemplo: 1,4,3,6,2,5 . Nesse caso, a próxima vez que lançar o dado, com certeza o proximo número que sair será um número da seguência anterior. Portanto, precisanmos lançar o dado 7 vezes para ter certeza que um mesmo número irá cair duas vezes.

 

Bom, por entanto é isso pessoal, espero que eu tenha conseguido motrar a ideia do princípio e que voês tenham conseguido absorver esse conhecimento. Abaixo disponibilizarei um link para vocês baixarem mais questões sobre esse assunto, aproveitem e bons estudos.

 

DOWNLOAD

 

 


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

FIQUE LIGADO! INSCRIÇÕES DO ENEM 2017 COMEÇAM NESSA SEGUNDA-FEIRA DIA 08/05/2017.

Inscrição Enem 2017

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

Algumas mudanças importantes virão nessa nova edição do Enem, confira Enem 2017 – Informações e mudanças na prova.

Neste ano, o Ministério da Educação abriu uma consulta pública sobre o Exame, em seu site oficial. Obteve informações com os estudantes, e resolveu realizar mudanças no processo de aplicação das provas.

O edital do Enem 2017 deve ser lido por todos os estudantes na sua íntegra, pois senão pode ser que o aluno cometa algum erro: Clique no link a seguir, e veja como acessar o documento. O edital do Enem 2017 foi publicado no Diário Oficial da União (DOU) do dia 10 de abril.

Duas semanas será o período de inscrição do Enem 2017, acontecerá neste mês de maio.

Inscrição Enem 2017

Será de duas semanas, o período de inscrição para o Enem 2017, iniciando dia 08 de maio, próxima segunda-feira, e findará no dia 19 de maio, numa sexta-feira. Portanto, alunos fiquem atentos ao período de inscrição para evitar problemas.

Para se inscrever, o candidato precisa acessar a página do participante, disponível no endereço http://enem.inep.gov.br/participante, no portal do Inep. O site será aberto às 10h do primeiro dia e fechado às 23h59min do último dia, sempre levando em conta o horário oficial de Brasília/DF.

A organização alerta que nenhum outro meio, senão a própria página oficial do Inep, é reconhecido como oficial.

 

Assista o vídeo abaixo e confira mais informações importantes.

 

 


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

Como construir a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis: 30º,45º e 60º

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

Você sabe o que são ângulos notáveis?

No triângulo retângulo,as relações trigonométricas, são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, por isso eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.

 

Esses ângulos são usados em diversos problemas de trigonometria, seja pra determinara altura de um prédio ou a  largura de um rio, a verdade é que podemos fazer uso dessa fantástica ferramenta para resolvermos problemas do cotidiano.Veremos agora como demonstrar o cálculo dos valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º, para isso, vamos considerar o triângulo equilátero ABC da Figura 1  logo abaixo.

Triângulo equilátero

[Figura 1]

Alguns fatos podemos destacar do triângulo acima:

  • Cada lado do triângulo mede l;
  • AD é a bissetriz do ângulo BÂC;
  • AD é a mediana de BC, ou seja AD divide o lado BC em duas partes iguais de tamanho l/2.

 

Podemos determinar a altura do triângulo em função da medida do lado l do triângulo da seguinte forma:

No triângulo retângulo ao lado, aplicaremos o teorema de pitagorismo e teremos:

 

 

 

Agora vamos à determinação do seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.

 

Sabemos que o Seno de um ângulo é definido como a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida da hipotenusa desse triângulo.

 

 

 

Observe o triângulo ADC e os ângulos de 30º e 60º .

 

Triangulo

 

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Já o cosseno de um ângulo é definido da seguinte forma:

 

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A tangente de um ângulo é definida pela razão entre a medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente à este ângulo.

 

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Vejamos agora como fazer a determinação do seno, cosseno e tangente de 45º.

 

Para determinar o seno, cosseno e tangente de 45º, vamos considerar o quadrado da Figura 2.

 

Quadrado

[Figura 2]

 

 

Do quadrado podemos observar:

  • A diagonal d forma um ângulo de 45º com os lados de medida l;
  • Podemos escrever d em função de l, da seguinte forma:

 

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Agora aplicando as razoes trigonometria métricas no triângulo CBA temos:

 

Triangulo retângulo

 

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Portanto, podemos montar a tabela trigonométrica com os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis:

 

Tabela:

Tabela de ângulos notaveis

Você também pode assistir uma incrível vídeo aula com esse conteúdo mostrado passo a passo. Confira o vídeo logo abaixo.


 

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Um forte abraço Professor Deivison Silva.