[4] Super aplicações que você precisa conhecer sobre logaritmo

Logaritmo

Aplicações do conceito de logaritmo

 

Prof. Esp. Deivison da Silva e Silva

E-mail:contato@profdeivison.com.br

 

Quantas vezes você já estudou aquele conteúdo de matemática e se perguntou: “Onde vou usar isso no meu dia dia ?” Pois é, eu também quando aluno me fiz essa pergunta várias e várias vezes em diversos assuntos.

Hoje veremos algumas aplicações referentes a definição e propriedades do conteúdo de logaritmo. Venha conosco e embarque nessa viajem e descubra o lado interessante da matemática.

Os logaritmos possuem várias aplicações em diversas áreas do conhecimento como em Química, Biologia, Geografia até mesmo na própria Matemática, em fim, agora analisaremos algumas aplicações desse tema em situações diversas.

Exemplo 01: Matemática Financeira.

Marcos aplicou a importância de R$ 500,00 em um Banco, que paga juros mensais de 5,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 8.500,00?

Solução:

A utilização de logaritmo e suas técnicas em situações de juros compostos que necessitamos calcular o tempo, é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos é essa: M = C\cdot (1+i)^{t}.

De acordo com a problema temos:

M (montante) = R$8.500,00
C (capital) = R$ 500,00
i (taxa) = 5,5% = 0,055
t = ?

\\M = C\cdot (1 + i)^{t}\\   \\8500 = 500\cdot (1 + 0,055)^{t}\\   \\frac{8500}{500} = 1,055^{t}\\   \\1,055t = 17.\\

 

Aplicaremos agora o conceito de logaritmo para determinar o tempo.

\\log 1,055^{t} = log17\Rightarrow t\cdot log 1,055 = log 17\\   \\ t\cdot0,0233 = 1,2304 \Rightarrow t=\frac{1,2304}{0,0233} \Rightarrow t = 52,8.\\

O montante de R$ 8.500,00 será originado após 52,8 meses de aplicação.

 

Exemplo 02: Geografia.

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 5% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade triplicará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Solução:

População do ano-base \\= P_{0}\\

População após um ano \\ =P_{0}\cdot (1,05)=P_{1}\\

População após dois anos \\=P_{0}\cdot (1,05)^{2}=P_{2}\\

População pós x anos  \\=P_{0}\cdot (1,05)^{x}=P_{x}.\\

 

Vamos supor que a população triplicará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

 \\=P_{x}= 3\cdot P_{0}.\\   \\P_{0}\cdot (1,05)^{x} = 3 \cdot P_{0}\\   \\1,05^{x} = 3 .\\

Aplicaremos agora o conceito de logaritmo para determinar o valor da incógnita x assim:

\\log\; 1,05^{t} = log\; 3\Rightarrow x\cdot log\; 1,05 = log\; 3\\   \\ x\cdot0,0212 = 0,4771 \Rightarrow t=\frac{0,4771}{0,0212} \Rightarrow x = 22,5.\\

 

A população triplicará em aproximadamente 22,5 anos.

 

Exemplo 03: Química.

Para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa, os químicos utilizam a fórmula

 Q = Q_{0} \cdot e^{-rt} , em que Q é a massa da substância,  Q_{0} é a massa inicial, r é taxa de redução da radiatividade e t é o tempo em anos.

Podemos por exemplo calcular o tempo gasto para 300 g de determinada substância se reduzir a 200g, a uma taxa de 7% ao ano. Equações desse tipo podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos.

Solução:  \\ \\

 \\ Q = 200g \\   \\ Q_{0} = 300g\\   \\r = 0,07. \\   \\Q = Q_{0} \cdot e^{-rt} \\   \\ 200 = 300 \cdot e^{-0,07t} \\   \\ \frac {200}{300} = e^{-0,07t} \Rightarrow \frac {2}{3} = e^{-0,07t}. \\

 

Aplicaremos agora a definição de logaritmo.

 

   \\ log_{e} \; \frac{2}{3} = log_{e}\; e^{-0,07t} \\   \\ log_{e} \; \frac{2}{3} =-0,07t\\   \\ -0,07t = ln\; \frac{2}{3}\\   \\-0,07t = -0,4055\\   \\t = \frac {-0,4055}{-0,07}\\   \\ t = 5,79.\\

 

Então concluímos que a substância levará 5,79 anos para reduzir-se a 200g.

 

Exemplo 04: Medicina.

Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma super-dose de um medicamento cujo princípio ativo é de 500 mg. A quantidade q desse princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela expressão q(t) = 500\cdot (0,6)^{t}.

Determine então, o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja menor que 100 mg.

Solução:

 \\500\cdot (0,6)^{t} < 100\\   \\(0,6)^{t} < \frac {100}{500}\\   \\(0,6)^{t} < \frac {1}{5}\\

 

Aplicaremos agora a definição de logaritmo.

 

 \\ log \; 0,6^{t} < log\;\frac{1}{5}\\   \\ t \cdot log \; 0,6 < log\;\frac{1}{5}\\   \\ \frac {t \cdot log \; 0,6}{log \; 0,6} > \frac {log\;\frac{1}{5}} {log \; 0,6} \\

Observe que log \; 0,6 < 0. Esse é o motivo pelo qual a desigualdade mudo de sentido.

t > \frac {-0,6990}{-0,2218} \Rightarrow t > 3,15h.

 

Então como podemos observar, o conceito de logaritmo possui uma vasta aplicação nas mais diversas áreas do conhecimento, bastando apenas aplicá-las de forma correta.

Espero que com esses exemplos de aplicações possamos ver a beleza e a utilidade desse importante conceito da matemática e mais além, possamos aplicar essa poderosa ferramenta na solução de problemas.

 


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Um forte abraço Professor Deivison Silva.

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